בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 5טריגונומטריה 571 · שיעור 54
📄 נוסח השאלה
משולש ABC חד זווית חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.
הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט.
נתון: ∢ABC = 60. נסמן: ∢BAC = t.
א. הביעו באמצעות R ו־t את שטחי המשולשים ABC ו־ODC.
נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא 2√3 sin80.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. מצאו את הערך של t.
הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC כך ש־∢CAE = 50, כמתואר בסרטוט.
ג. הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.
(בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t. כל הזוויות במעלות.)
סעיף א – השטחים
זוויות המשולש: ∢A = t, ∢B = 60, ולכן ∢C = 180 − 60 − t = 120 − t. לפי משפט הסינוסים:
BC = 2R sin∢A
📐 משפט הסינוסים
AB = 2R sin∢C
נציב ∢A = t ו־∢C = 120 − t:
BC = 2R sin t
AB = 2R sin(120 − t)
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = 2R
סעיף א – השטחים · המשך
AB = 2R sin(120 − t)
SABC = 12 · AB · BC · sin60
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
נציב AB = 2R sin(120 − t) , BC = 2R sin t ו־sin60 = √32:
SABC = 12 · 2R sin(120 − t) · 2R sin t · √32
SABC = √3R2 sin t · sin(120 − t)
הזווית המרכזית על הקשת BC: ∢BOC = 2∢BAC = 2t. D אמצע הקשת, ולכן ∢DOC = t.
📐 זווית מרכזית
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 12 · a · b · sin∢
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
📐 זווית מרכזית
שווה לפעמיים זווית היקפית הנשענת על אותה קשת
סעיף א – השטחים · המשך
הזווית המרכזית על הקשת BC: ∢BOC = 2∢BAC = 2t. D אמצע הקשת, ולכן ∢DOC = t.
📐 זווית מרכזית
SODC = 12 · OD · OC · sin∢DOC
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
נציב OD = OC = R (רדיוסים) ו־∢DOC = t:
SODC = 12 · R · R · sin t
SODC = 12R2 sin t
✅ פתרון סופי: SABC = √3R2 sin t sin(120 − t) , SODC = 12R2 sin t
📐 זווית מרכזית
שווה לפעמיים זווית היקפית הנשענת על אותה קשת
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 12 · a · b · sin∢
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
סעיף ב – הערך של t
SABCSODC
נציב את שני השטחים מסעיף א:
SABCSODC = √3R2 sin t sin(120 − t)12R2 sin t
SABCSODC = 2√3 sin(120 − t)
נציב את היחס הנתון 2√3 sin80:
2√3 sin(120 − t) = 2√3 sin80
סעיף ב – הערך של t · המשך
2√3 sin(120 − t) = 2√3 sin80
sin(120 − t) = sin80
120 − t = 80 או 120 − t = 100
📐 זוויות שהסינוס שלהן שווה
t = 40 או t = 20
עם t = 20: ∢C = 100 – המשולש לא חד זווית. לכן:
t = 40
📐 זוויות שהסינוס שלהן שווה
sin x = sin(180 − x)
סעיף ב – הערך של t · המשך
t = 40
✅ פתרון סופי: t = 40
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום במשולש ACE
הזוויות של המשולש ACE:
∢ACB = 120 − t
נציב t = 40:
∢ACB = 120 − 40 = 80
∢BCD היקפית על הקשת BD, שהיא חצי מקשת BC: ∢BCD = 12 · ∢BAC = 20.
📐 זוויות היקפיות
∢ACD = ∢ACB + ∢BCD
📐 זוויות היקפיות
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום במשולש ACE · המשך
∢ACD = ∢ACB + ∢BCD
נציב ∢ACB = 80 ו־∢BCD = 20:
∢ACD = 80 + 20 = 100
∢ACE = 180 − ∢ACD
📐 זוויות צמודות
נציב ∢ACD = 100:
∢ACE = 180 − 100 = 80
📐 זוויות צמודות
סכומן 180 מעלות
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום במשולש ACE · המשך
∢ACE = 180 − 100 = 80
∢AEC = 180 − ∢CAE − ∢ACE
📐 סכום זוויות במשולש
נציב ∢CAE = 50 (נתון) ו־∢ACE = 80:
∢AEC = 180 − 50 − 80 = 50
∢CAE = ∢AEC = 50, ולכן CE = CA.
📐 משולש שווה שוקיים
CA = 2R sin∢ABC
📐 משפט הסינוסים
📐 סכום זוויות במשולש
180 מעלות
📐 משולש שווה שוקיים
מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = 2R
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום במשולש ACE · המשך
CA = 2R sin∢ABC
📐 משפט הסינוסים
נציב ∢ABC = 60 (נתון):
CA = 2R sin60 = R√3
שטח והיקף:
S = 12 · CA · CE · sin∢ACE
נציב CA = CE = R√3 ו־∢ACE = 80:
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = 2R
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום במשולש ACE · המשך
נציב CA = CE = R√3 ו־∢ACE = 80:
S = 12 · R√3 · R√3 · sin80
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 1.5R2 sin80
AEsin∢ACE = CAsin∢AEC
נציב ∢ACE = 80 , CA = R√3 ו־∢AEC = 50:
AEsin80 = R√3sin50
📐 משפט הסינוסים
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 12 · a · b · sin∢
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = 2R
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום במשולש ACE · המשך
AEsin80 = R√3sin50
📐 משפט הסינוסים
AE = R√3 sin80sin50
AE ≈ 2.227R
p = CA + CE + AE2
נציב את שלוש הצלעות:
p = R√3 + R√3 + 2.227R2 ≈ 2.845R
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = 2R
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום במשולש ACE · המשך
p = R√3 + R√3 + 2.227R2 ≈ 2.845R
r = Sp
📐 רדיוס המעגל החסום
נציב S = 1.5R2 sin80 (במחשבון sin80 ≈ 0.9848) ו־p ≈ 2.845R:
r = 1.5R2 · 0.98482.845R
r ≈ 0.519R
הסרטוט בקנה מידה (המשולש ACE בירוק, המעגל החסום מקווקו):
📐 רדיוס המעגל החסום
S = r · p
p – חצי ההיקף
p – חצי ההיקף
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום במשולש ACE · המשך
הסרטוט בקנה מידה (המשולש ACE בירוק, המעגל החסום מקווקו):
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.519R
📌 סיכום התשובות
סעיף א
SABC = √3R2 sin t sin(120 − t) , SODC = 12R2 sin t
סעיף ב
t = 40
סעיף ג
r ≈ 0.519R
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא